Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) формулируется следующим образом – найти переменные задачи x 1 , x 2 , ..., x n , которые обеспечивают экстремум целевой функции
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования (ЗЛП) называется любой n -мерный вектор X =(x 1 , x 2 , ..., x n), удовлетворяющий системе ограничений равенств и неравенств. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений D .
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение, при котором целевая функция Z (X ) достигает экстремума.
Каноническая задача линейного программирования (КЗЛП) имеет вид
(1.2)
Она отличается от ОЗЛП тем, что её система ограничений является системой только уравнений и все переменные неотрицательные.
Приведение ОЗЛП к каноническому виду ЗЛП:
Чтобы заменить исходную задачу минимизации на задачу максимизации (или наоборот задачу максимизации на задачу минимизации) достаточно целевую функцию умножить на «-1» и искать максимум (минимум) полученной функции;
Если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных x n +1 ≥ 0 они преобразуются в равенства:
неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≥ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ,
неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≤ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ;
Если некоторая переменная x k не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательны-ми переменными: x k = x " k – x ” k , где x " k ≥ 0. x ” k ≥ 0.
Графический метод решения ЗЛП с двумя неизвестными
ЗЛП с двумя неизвестными имеет вид:
Метод основан на возможности графического изображения области допустимых решений и нахождении среди них оптимального решения.
Область допустимых решений (ОДР) задачи является выпуклым многоугольником и строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из неравенств ограничений задачи.
Областью решения неравенства a i 1 x 1 +a i 2 x 2 ≤ b i является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая a i 1 x 1 +a i 2 x 2 = b i , соответствующая этому неравенству, делит координатную плоскость. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на разделяющей прямой подставить в неравенство:
Если неравенство справедливо, то областью решений является полуплоскость, содержащая эту точку;
Если неравенство не справедливо, то областью решений является полуплоскость, не содержащая эту точку.
Для нахождения среди допустимых решений оптимального используются линии уровня.
Линией уровня называется прямая с 1 x 1 +с 2 x 2 = l , где l = const, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Все линии уровня параллельны между собой.
Градиент целевой функции grad Z (X ) задает вектор нормали C = (c 1 , c 2) линий уровня. Целевая функция на линиях уровня возрастает, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывает – в противоположном направлении.
Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР и по отношению к которой ОДР находится в одной из полуплоскостей. ОДР задачи имеет не более двух опорных прямых.
Оптимальное решение ЗЛП лежит на опорной прямой в угловой точке многоугольника ОДР. ЗЛП имеет единственное решение, если опорная прямая проходит через одну угловую точку ОДР, бесконечное множество решений, если опорная прямая проходит через ребро многоугольника ОДР. ЗЛП не имеет решения, если ОДР является пустым множеством (когда система ограничений несовместна) и если ОДР неограниченна в направлении экстремума (целевая функция неограниченна).
Алгоритм графического метода решения ЗЛП с двумя неизвестными:
Построить ОДР.
Построить вектор нормали C = (c 1 , c 2) и линию уровня с 1 x 1 +с 2 x 2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С .
Передвигать линию уровня до опорной прямой в направлении вектора С в задаче на max, или в противоположном направлении – в задаче на min.
Если при перемещении линии уровня в направлении экстремума ОДР уходит в бесконечность, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.
Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих ОДР и имеющих общие точки с опорной прямой. Если экстремум достигается в двух угловых точках, то ЗЛП имеет бесконечное множество решений, принадлежащих ребру ОДР, ограниченному этими угловыми точками. В данном случае вычисляются координаты обеих угловых точек.
Вычислить значение целевой функции в точке экстремума.
Симплекс-метод решения ЗЛП
Симплекс-метод основывается на следующих положениях:
ОДР задачи линейного программирования является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек;
Оптимальным решением ЗЛП является одна из угловых точек ОДР. Угловые точки ОДР алгебраически представляют некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений ЗЛП.
Базисным (опорным) решением ЗЛП называется такое допустимое решение X 0 =( x 10 , x 20 , ..., x m 0 , 0,…0), для которого векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) линейно независимы.
Ненулевые координаты x 10 , x 20 , ..., x m 0 решения X 0 называются базисными переменными, оставшиеся координаты решения X 0 - свободными переменными. Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы ограничений ЗЛП (числа линейно независимых уравнений в системе ограничений ЗЛП). Далее считаем, что система ограничений ЗЛП состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r = m .
Смысл симплекс-метода заключается в целенаправленном переходе от одного опорного решения ЗЛП к другому (т.е. от одной угловой точки ОДР к другой) в направлении экстремума и состоит в последовательности этапов:
Найти начальное опорное решение;
Осуществить переход от одного опорного решения к другому;
Определить критерий достижения оптимального решения или сделать заключение об отсутствии решения.
Алгоритм выполнения Симплекс-метода ЗЛП
Алгоритм симплекс-метода осуществляет переход от одного опорного решения ЗЛП к другому в направлении экстремума целевой функции.
Пусть ЗЛП задана в каноническом виде (1.2) и выполнено условие
b i ≥ 0, i =1,2,…,m , (1.3)
соотношение (1.3) всегда можно выполнить, домножив соответствующее уравнение на «-1» в случае отрицательности b i . Также считаем, что система уравнений в ограничениях задачи (1.2) линейно независима и имеет ранг r = m . При этом вектор опорного решения имеет m ненулевых координат.
Пусть исходная задача (1.2), (1.3) приведена к виду, где базисные переменные x 1 , x 2 , ..., x m выражены через свободные переменные x m + 1 , x m + 2 , ..., x n
(1.4)
На основе этих соотношений построим таблицу 1
Таблица 1.
Таблица 1 называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменениями содержания этой таблицы.
Алгоритм с имплекс-метода :
1. В последней строке Z симплекс-таблицы в задаче на min находят наименьший положительный элемент (в задаче на max - наименьший отрицательный элемент), не считая свободного члена. Столбец, ответствующий этому элементу, называется разрешающим.
2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс - отношений, оно соответствует разрешающей строке.
3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.
4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс - отношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симлекс - таблицы.
5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной и наоборот. Симплекс - таблица преобразуется следующим образом (таблица 2):
Таблица 2
6. Элемент таблицы 2, соответствующий разрешающему элементу таблицы 1, равен обратной величине разрешающего элемента.
7. Элементы строки таблицы 2, соответствующие элементам разрешающей строки таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент.
8. Элементы столбца таблицы 2, соответствующие элементам разрешающего столбца таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.
9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника : мысленно вычерчиваем прямоугольник в таблице 1, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом (Рэ), а другая – с элементом, который мы ищем; обозначим элемент в новой таблице 2 через (Нэ), а элемент, стоящий на этом же месте в старой таблице 1 – через (Сэ). Остальные две вершины А и В дополняют фигуру до прямоугольника. Тогда искомый элемент Нэ из таблицы 2 равен Нэ = Сэ – А*В/Рэ.
10. Критерий оптимальности. Как только получится таблица, у которой в последней строке в задаче на min все элементы отрицательны (в задаче на max все элементы положительны), считается, что экстремум найден. Оптимальное значение целевой функции равно свободному члену в строке Z, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные полагаются равными нулю.
11.Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).
Метод искусственного базиса решения ЗЛП
Алгоритм симплекс-метода применим, если выделено какое-либо опорное решение ЗЛП, т. е, исходная ЗЛП (1.2) приведена к виду (1.4). Метод искусственного базиса предлагает процедуру построения такого опорного решения.
Метод искусственного базисаоснован на введении искусственных базисных переменных y 1 , y 2 ,…, y m , с помощью которых система ограничений ЗЛП (2.2)
(1.5)
может быть преобразована к виду
(1.6)
Системы (1.5) и (1.6) будут эквивалентны в том случае, если все y i будут равны нулю. Как и раньше мы считаем, что все b i ≥ 0. Для того чтобы у i были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные базисные переменные y i перешли в свободные переменные. Такой переход можно сделать алгоритмом симплекс метода относительно дополнительной целевой функции
F (y ) = y 1 + y 2 + ... + y m = d 0 – (d 1 x 1 + d 2 x 2 +…+d n x n). (2.7)
Исходная симплекс таблица для данного метода имеет вид
Сначала симплекс таблица преобразуется относительно целевой функции F (y ) до получения опорного решения. Опорное решение найдено, когда выполнен следующий критерий: F (y ) = 0 и все искусственные переменные у i переведены в свободные переменные. Затем из симплекс таблицы вычеркивается строка для F (y ) и столбцы для у i и решают задачу для исходной целевой функции Z (x ) до получения оптимального решения.
Теорема 4.1. Если в задаче линейного программирования на максимум (минимум) хотя бы для одного вектора условий оценка разложения по базису невырожденного опорного решения отрицательная (положительная), то опорное решение может быть улучшено, т. е. можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше (меньше).
Доказательство
. Пусть решается задача на максимум, которая имеет невырожденное опорное решение , 
, и оценка разложения некоторого вектора условий отрицательная (
).
Перейдем к новому опорному решению , введем в базис вектор и исключим из базиса вектор . В этом случае приращение целевой функции равно
Решение невырожденное, поэтому параметр , вычисляемый по формуле (4.5), отличен от нуля ( > 0). Так как > 0, 
, то
Следовательно, значение целевой функции на новом опорном решении будет больше, чем на первом .
Доказательство для задачи на минимум аналогично.
Следствие 1 (условие наибольшего приближения к оптимальному решению). Для наибольшего изменения целевой функции при улучшении опорного решения необходимо выбор вектора, выводимого из базиса (с номером l ) и вводимого в базис (с номером k ), производить из условий:
– в задаче на максимум 
; (4.10)
– в задаче на минимум 
. (4.11)
В упрощенном варианте выбор вектора, вводимого в базис, можно производить с использованием условий:
– в задаче на максимум 
; (4.12)
– в задаче на минимум 
. (4.13)
Этот вариант перехода к новому опорному решению обычно используется при расчетах на ЭВМ.
Следствие 2 (признак оптимальности опорного решения). Опорное решение задачи линейного программирования на максимум (минимум) является оптимальным, если для любого вектора условий оценка разложения по базису опорного решения неотрицательная (неположительная), т. е.
– в задаче на максимум 
; (4.14)
– в задаче на минимум 
. (4.15)
Действительно, если Z
(x
) 
, 
, 
, то
т. е. – оптимальное решение. Для задачи на минимум доказательство аналогично.
Следствие 3 (признак единственности оптимального решения). Оптимальное решение задачи линейного программирования является единственным, если для любого вектора условий, не входящего в базис, оценка отлична от нуля, т. е.
Здесь предполагается, что в базис оптимального решения входят первые m векторов.
Следствие 4 (признак существования бесконечного множества оптимальных решений). Задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений, если она имеет оптимальное решение, при котором хотя бы один из векторов условий, не входящих в базис оптимального решения, имеет оценку равную нулю, т. е.
$ k
Î {m
+1, m
+2, ..., n
}: 
. (4.17)
Следствие 5 (признак отсутствия оптимального решения ввиду неограниченности целевой функции). Задача линейного программирования не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, если для какого-либо из векторов условий с оценкой , противоречащей признаку оптимальности, среди коэффициентов разложения по базису опорного решения нет положительного, т. е.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. В решении каких производственно-экономических проблем используются методы линейного программирования
Методы линейного программирования разработаны для проблем оптимизации, затрагивающих линейные функции пригодности или расходов с линейными ограничениями параметров или входных переменных. Линейное программирование обычно используется для решения задач по распределению активов. В мире трейдинга одно из возможных применений линейного программирования состоит в поиске оптимального размещения денежных средств в различные финансовые инструменты для получения максимальной прибыли. Если оптимизировать прибыль с учетом возможного риска, то применять линейные методы нельзя. Прибыль с поправкой на риск не является линейной функцией весов различных инвестиций в общем портфеле, здесь требуются другие методы, к примеру генетические алгоритмы.
2. Графический метод основан на геометрической интерпретации за дачи линейного программирования
1. Графически могут решаться:
Задачи, заданные в стандартной форме, содержащие не более двух переменных;
Задачи, заданные в канонической форме с числом свободных переменных (r - ранг матрицы системы ограничений);
Задачи общего вида, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных переменных.
2. Основной формой для графического решения является первый тип задач. Поэтому, если встречается второй или третий тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к первому типу.
3. Методика решения задач ЛП графическим методом
I.В ограничениях задачи заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.
II. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства. Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.
Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. в I-м квадранте.
Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.
III. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.
IV. Если ОДР - не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L - произвольное число, например, кратное и, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.
V. Построить вектор, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке. Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны.
VI.При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ - против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).
VII. Определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.
4 . Как построить первоначальный опорный план задачи ЛП в симплексном методе и проверить его оптимальность
Для нахождения опорного решения необходимо основные переменные (переменные, которые были в системе ограничений до приведения ее к каноническому виду, называются основными переменными задачи) приравнять к нулю, тогда дополнительные переменные будут равны соответствующим свободным членам. План считается оптимальным при решении задачи на максимум в том случае, если в индексной строке отсутствуют отрицательные коэффициенты. При решении задачи на минимум наоборот добиваются неположительности коэффициентов С-строки.
5 . Как определить переменную (вектор) для включения в базис и переменную (вектор) подлежащую исключению из базиса
Чтобы определить какую из переменных надо ввести в базис необходимо найти разрешающий столбец. Для этого просматриваем индексную строку симплексной таблицы: содержащий наибольший по модулю отрицательный элемент, если решаем задачу на минимум - то наибольший положительный. Для определения переменной, которую необходимо из базиса вывести определяется разрешающая строка. Для ее определения необходимо вычислить если решаем задачу на максимум, то разрешающим будет столбец, симплексное отношение.
Симплексное отношение (Q) = Элементы столбца свободных членов
Соответствующие элементы разрешающего столбца
Значения симплексного отношения заносятся в таблицу.
Среди полученных отношений выбирают наименьшее неотрицательное симплексное отношение, как при решении задачи на минимум, так и при решении на максимум. Нулевое симплексное отношение определяет разрешающую строку в том случае, если в знаменателе этого отношения находится положительное число. Если получилось несколько одинаковых симплексных отношений, то выбирают любую строку в качестве разрешающей. На пересечении разрешающей строки и столбца находится разрешающий элемент.
6 . Какой метод решения систем линейных уравнений лежит в основе симплекс-метода
Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению проводятся на основе применения метода Жордана - Гаусса для системы линейных уравнений канонической формы, в которой должна быть предварительно записана исходная ЗЛП; направление перехода от одного опорного решения к другому выбирается при этом на основе критерия оптимальности (целевой функции) исходной задачи.
7. Опишите алгоритм симплекс-метода
Схема решения задачи линейного программирования симплексным методом состоит из следующих основных этапов. 1. Математическая формализация задачи; 2. Приведение системы ограничений к каноническому виду; 3. Поиск опорного решения и нахождение базиса задачи; 4. Построение первой симплексной таблицы; 5. Проверка плана на оптимальность; 6. Последовательное улучшение плана до получения оптимального.
8. Опишите правила построения двойственной задачи ЛП
Правила построения двойственных задач:
Упорядочивается запись исходной задачи (если целевая функция максимизируется, то ограничения неравенства должны быть вида <= если минимизируется то >=), выполнение этих условий достигается умножением соответствующих ограничений на -1.Если прямая задача решается на максимум то двойственная на минимум, и на оборот. К каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи и наоборот. Матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений прямой задачи транспонированием.Свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной и наоборот Если на переменную прямой задачи наложено условие не отрицательности то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение неравенства, если же нет то как ограничение равенства. Если какое либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие не отрицательности не налагается.
9 . Какова экономическая интерпретация двойственных оценок
С экономической точки зрения двойственную задачу можно интерпретировать так:
какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b i и величинах стоимости единицы продукции C j минимизировать общую стоимость затрат? А исходную задачу определим следующим, образом: сколько и какой продукции x j (j =1,2,…, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях C j (j =1,2,…, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов b i (i =1,2,…, n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
1 0 . Каким образом определяются двойственные оценки из последней симплексной таблицы
Чтобы найти решение двойственной задачи, сначала находим решение исходной задачи методом искусственного базиса. Из последней симплекс-таблицы видно, что двойственная задача имеет решение.
1 1 . Сформулируйте задачу оптимального планирования производства и запишите ее в виде модели ЛП
Некоторое предприятие производит n типов продукции, затрачивая при этом m типов ресурсов. Известны следующие параметры: aij - количество i-го ресурса, необходимое для производства единичного количества j-й продукции; aij0 (i=1,…,m; j=1,…,n);
bi-запас i-го ресурса на предприятии, bi>0;
cj-цена единичного количества j-й продукции, cj>0.
Предполагается, что затраты ресурсов растут прямо пропорционально объему производства. Пусть xj - планируемый объем производства j-й продукции. Тогда допустимым является только такой набор производимой продукции x=(x1,x2,…,xn), при котором суммарные затраты каждого вида i-го ресурса не превосходят его запаса:
Кроме того, имеем следующее ограничение: xj0; j=1,…,n. (2)
Стоимость набора продукции x выражается величиной: (3)
Задача планирования производства ставится следующим образом: среди всех векторов x, удовлетворяющим ограничениям (1), (2), найти такой, при котором величина (3) принимает наибольшее значение.
1 2 . Сформулируйте задачу оптимального состава смеси и запишите ее в виде модели ЛП
Пусть имеется m видов сырья, запасы которого составляют соответственно d1,…, dm. Из этого сырья необходимо составить смесь, содержащую n веществ, определяющих технические характеристики смеси. Известны величины aij (i =1,m; j =1, n) ,определяющие количество j-го вещества в единице i -го вида сырья, цена которого равна сi (i = 1,m), а также b j (j = 1,n) ?наименьшее допустимое количество j-го вещества в смеси.
Требуется получить смесь с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Цель задачи (целевая функция) - минимизировать суммарные затраты на сырье.
Найти вектор X = (x 1 , x 2, …, x n), удовлетворяющий системе ограничений:
и доставляющий целевой функции минимальное значение.
1 3 . Сформулируйте транспортную задачу ЛП и запишите ее модель
Транспортная задача (transportation problem) - одна из наиболее распространенных задач математического программирования (обычно - линейного). В общем виде ее можно представить так: требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы стоимость перевозки (или суммарная дальность, или объем транспортной работы в тонно-километрах) была наименьшей. Следовательно, дело сводится к наиболее рациональному прикреплению производителей к потребителям и наоборот. В простейшем виде, когда распределяется один вид продукта и потребителям все равно, от кого из поставщиков его получать, задача формулируется следующим образом.
Исходная информация:
Mi - количество единиц груза в i-м пункте отправления (i = 1, 2, …, k);
Nj - потребность в j-м пункте назначения (j = 1, 2, …, l) (в единицах груза);
aij - стоимость перевозки единицы груза из i-гo пункта в j-й.
Обозначим через xij планируемое количество единиц груза для перевозки из i-ro пункта в j-й.
В принятых обозначениях:
Общая (суммарная) стоимость перевозок;
Количество груза, вывозимого из i-ro пункта;
Количество груза, доставляемого в j-и пункт.
В простейшем случае должны выполняться следующие очевидные условия:
Таким образом, математической формулировкой транспортной задачи будет:
при условиях:
Эта задача носит название замкнутой (закрытой, сбалансированной) транспортной модели. Заметим, что условие является естественным условием разрешимости замкнутой транспортной задачи.Более общей транспортной задачей является так называемая открытая (несбалансированная) транспортная модель:
при условиях:
1 4 . Какие модели транспортной задачи называются открытыми и как преобразовать открытую модель в закрытую?
Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения. Если условие баланса выполняется, то модель транспортной задачи называется закрытой. Если условие баланса не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой. Чтобы получить закрытую модель, вводят дополнительную (фиктивную) базу с запасом недостающего груза.
Если, в модель вводится фиктивный (m+1)-й поставщик, для которого запас груза равен разности между суммарным спросом потребителей и фактическим запасом поставщиков. Все тарифы на доставку груза от фиктивного поставщика считают равным 0: . В транспортную таблицу добавляется одна строка.
В модель вводится фиктивный (n+1)-й потребитель, для которого потребность равна разности между суммарным запасом поставщиков. Все тарифы на доставку груза с фиктивными потребностями считают равными 0: . В транспортную таблицу добавляется один столбец.
15 . Метод потенциалов
Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов. Если допустимое решение (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков (i=1,2,…,m)и потребителей (j=1,2,…,n). Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные. Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:
а) проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок. b) построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть m+n-1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используется метод вычеркивания). c) построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений, которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам. d) проверить выполнения условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам и те из них, которые больше нуля, записываются в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток, то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.
e) перейти к опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка. Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину. Клетка со знаком «-», в которой достигается остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным. Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.
МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
1. Каковы цели применения методов СПУ? Охарактеризуйте область применения сетевых методов в с фере экономики
Сетевое планирование - это комплекс графических и расчетных методов организационных мероприятий, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку плана выполнения сложных проектов и разработок, например, таких как: строительство и реконструкция каких-либо объектов; выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ; подготовка производства к выпуску продукции; перевооружение армии. Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Они обусловливают друг друга так, что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие. Основная цель сетевого планирования и управления - сокращение до минимума продолжительности проекта. Задача сетевого планирования и управления состоит в том, чтобы графически, наглядно и системно отобразить и оптимизировать последовательность и взаимозависимость работ, действий или мероприятий, обеспечивающих своевременное и планомерное достижение конечных целей.
Система СПУ позволяет:
Формировать календарный план реализации некоторого комплекса работ; выявлять и мобилизовывать резервы времени, трудовые, материальные и денежные ресурсы; - осуществлять управление комплексом работ по принципу «ведущего звена» с прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ; - повышать эффективность управления в целом при четком распределении ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ; - четко отобразить объем и структуру решаемой проблемы, выявить с любой требуемой степенью детализации работы, образующие единый комплекс процесса разрешения проблемы; - - определить события, совершение которых необходимо для достижения заданных целей; - выявить и всесторонне проанализировать взаимосвязь между работами, так как в самой методике построения сетевой модели заложено точное отражение всех зависимостей, обусловленных состоянием объекта и условиями внешней и внутренней среды; - широко использовать вычислительную технику; - быстро обрабатывать большие массивы отчетных данных и обеспечивать руководство своевременной и исчерпывающей информацией о фактическом состоянии реализации программы; - - упростить и унифицировать отчетную документацию.
2. Что представляет собой сетевой график?
Сетевая модель -- это план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, заданного в форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком.
3. Что понимается под терминами работа и события, каки е разновидности работ Вы знаете ?
Сетевые модели состоят из трех следующих элементов:
Работа (или задача) Событие (вехи) Связь (зависимость)
Работа (Activity) - это процесс, который необходимо выполнить для получения определенного (заданного) результата, как правило, позволяющего приступить к последующим действиям. Термины "задача" (Task) и "работа" могут быть идентичны, однако в некоторых случаях задачами принято называть выполнение действий, выходящих за рамки непосредственного производства, например "Экспертиза проектной документации" или "Переговоры с заказчиком". Иногда понятие "задача" используют для отображения работ самого низкого уровня иерархии. Событие (Node) - момент изменения состояния системы, в частности, момент начала или окончания любой работы по своей сути является событием, а каждая работа обязательно имеет начальное и конечное события. Работа - это действие или процесс, которые должны произойти для перехода от начального события к конечному. Некоторые события являются общими для нескольких работ, в этом случае свершение события является моментом времени, соответствующим завершению последней из работ, непосредственно предшествующих данному событию. Веха (Milestone) - разновидность события, характеризующая достижение значимых промежуточных результатов (отдельных этапов проекта). Связь (Link) - это логическая зависимость между сроками выполнения отдельных работ и наступления событий. Если для начала выполнения какой-либо работы необходимо завершение другой работы, говорят, что эти работы соединены связью (связаны). Связи по своему существу могут определяться технологией работ, либо их организацией. Соответственно различают технологические и организационные виды связей. Связи могут называться также зависимостями (Relationship), или фиктивными работами (Dummy Activity). Связям не требуются исполнители и прямые затраты времени, однако они могут характеризоваться продолжительностью растяжения (положительным, отрицательным или нулевым).
4. Опишите основные требования, которым долж ен удовлетворять сетевой график
При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.
1. В сетевой модели не должно быть «тупиковых» событий, то есть событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события. Здесь либо работа не нужна и её необходимо аннулировать, либо не замечена необходимость определённой работы, следующей за событием для свершения какого-либо последующего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.
2. В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа. Обнаружив в сети такие события, необходимо определить исполнителей предшествующих им работ и включить эти работы в сеть.
3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, то есть путей, соединяющих некоторые события с ними же самими. При возникновении контура (а в сложных сетях, то есть в сетях с высоким показателем сложности, это встречается довольно часто и обнаруживается лишь при помощи ЭВМ) необходимо вернуться к исходным данным и путём пересмотра состава работ добиться его устранения.
4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Нарушение этого условия происходит при изображении параллельно выполняемых работ. Если эти работы так и оставить, то произойдёт путаница из-за того, что две различные работы будут иметь одно и то же обозначение. Однако содержание этих работ, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться.
5. Как определяются временные оценки работ и событий?
Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для указания конкретной работы используют код работы Р i,j , состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий (рис.1, а). На рис.1, б изображен пример кодирования работ и событий в принятых обозначениях: t ij - продолжительность работы Р i,j , t - ранний срок (ожидаемый момент) осуществления события, t * - поздний срок (предельный момент) осуществления события, n - номер события, n см - номер предшествующего (смежного) события.
Рис.1. Обозначение элементов сетевого графика: а - код работы; б - пример кодирования событий в принятых обозначениях; в - пример изображения события в принятых выше обозначениях.
На рис.1 в приведён пример изображения события в принятых выше обозначениях. Обозначим через множество работ, входящих в j-е событие, а через - множество работ, выходящих из i-го события. Ранний срок (ожидаемый момент) осуществления j-го события представляет собой момент времени, раньше которого событие произойти не может и рассчитывается по формуле
Поздний срок (предельный момент) осуществления i-го события показывает максимальную задержку во времени наступления данного события:
6. Раскройте содержание, метод определения и значение критического пути в моделях сетевого планирования
Критический путь - последовательность работ между начальными и конечными событиями сети, имеющих наибольшую продолжительность во времени. Минимальное время, необходимое для выполнения проекта, запланированного сетевым графиком, равно длине критического пути. Сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути. Резервный интервал от t до t* для событий, лежащих на критическом пути, равен 0. Для завершающего события сетевого графика поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку, т. е. t п = t* п. Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события, т. е. t кр = t п = t* п.
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1. Какие системы исследуются при помощи теории массового обслуживания?
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединится к очереди других требований (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование, из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
2. Привидите примеры систем массового обслуживан ия в экономике, на производстве
Примерами систем массового обслуживания могут служить: · посты технического обслуживания автомобилей; · персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования для решения тех или иных задач; · отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий; · аудиторские фирмы; · телефонные станции и т.д.
3. Как классифицируются системы массового обслуживания?
СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований. По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.
По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:
1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),
2) с отказами;
3) смешанного типа.
4. Какими чертами обладает простейший поток?
Простейший поток обладает такими важными свойствами:
1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
2) Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).
При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:
вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именноk требований:
где. - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.
5. Какое распределение обычно имеет время обслуживания?
Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования()- случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку). Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.
На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.
Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений.
При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:
гдеv - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:
где- среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:
где n - количество обслуживающих устройств.
6. Какое практическое применение имеет теория массового обслуживания при анализе функционирования подразде лений производства?
Применение системы массового обслуживания применяется в задачах, когда в массовом порядке поступают заявки на обслуживание с последующим их удовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации.
МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
1. Область применения межотрас левых и межпродуктовых балансов
Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») -- экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
2. Что показывает и отражают балансовые модели?
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
3. Дайте характерис тику разделов балансовой модели
В схеме МОБ по методологии СНС, как и в известной открытой статистической модели, выделяются три основные части (квадранты): внутренний (или первый) квадрант (I); боковое (или правое) крыло (II квадрант); нижнее крыло (III квадрант). IV квадрант не разрабатывается. Общая схема МОБ имеет следующий вид:
Внутренний (или первый) квадрант (I) характеризует взаимосвязи отраслей, отражает промежуточное потребление; во II квадранте приводится структура конечного использования валового внутреннего продукта (ВВП); в III квадранте показывается структура валовой добавленной стоимости по элементам. В I квадранте («шахматная таблица») по строкам и колонкам записываются отрасли экономики. В колонках I квадранта по каждой отрасли представлены затраты на производство продукции, работ, услуг (стоимость сырья, материалов, топлива, энергии, услуг), а по строкам показывается, как распределяется продукция каждой отрасли между всеми отраслями. В правой части МОБ (// квадрант) строки соответствуют отраслям-потребителям. Колонки представляют собой категории конечного использования: конечное потребление (расходы на конечное потребление домашних хозяйств, государственного управления и некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйства), валовое накопление (валовое накопление основного капитала, изменение запасов материальных оборотных средств, чистое приобретение ценностей), сальдо экспорта-импорта товаров и услуг. В III квадранте представлена стоимостная структура ВВП. Колонки III квадранта соответствуют отраслям-производителям, а строки -- основным стоимостным компонентам валовой добавленной стоимости (оплата труда наемных работников, валовая прибыль, валовой смешанный доход, налоги и субсидии, связанные с производством) и налогам и субсидиям на продукты. Таким образом, если рассматривать данные МОБ по вертикали, то по колонкам показывается стоимостная структура выпуска продукции отдельных отраслей, который состоит из промежуточного потребления (I квадрант) и валовой добавленной стоимости (III квадрант), а по горизонтали -- по строкам -- натурально-вещественный состав продукции, которая расходуется на промежуточное потребление (I квадрант) и конечное использование (II квадрант). Для каждой отрасли экономики ресурсы продуктов равны их использованию.Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах нашего курса рассматриваться не будет.
4 . Дайте характеристику методов формирования коэффициентов прямых затрат в балансовых моделях. Как вычисляются эти коэффициенты?
Логические коэффициенты, или, как их еще называют, коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат аij показывают, какое количество продукта i-й отрасли надо затратить на производство единицы валового продукта j-й отрасли. Коэффициенты прямых затрат считаются постоянными величинами в статических межотраслевых моделях.Каким образом можно получить значения коэффициентов аij? Есть два основных пути.
1. Статистический. Коэффициенты аij определяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигается подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно крупных отраслей коэффициенты аij оказываются достаточно устойчивыми.
где Xij и Xj взяты из отчетного баланса.
2. Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокупность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.
Определив коэффициенты аij, можно использовать систему (4) для решения сформулированных выше задач 1 - 3.
Технологические коэффициенты аij обладают следующими свойствами:
ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
1. Какие причины вызывают неопределенность результатов игры?
Выделяют следующие группы причин возникновения неопределенности и вызванного ею риска: индетерминированность многих процессов и явлений, которые влияют на экономику (НТП, стихийного бедствия, поведение конкурентов и потребителей); неполнота, неточность и противоречивость информации, которые вызваны, как техническими затруднениями при получении и обработке, так и сугубо экономическими причинами - слишком большими затратами на получение информации, которые превышают возможные выгоды от владения ею.
неравная степень осведомленности участников рыночных соглашений, например, продавцов и покупателей, о предмете и условиях соглашений (асимметрия информации);многокритериальность и конфликтность в оценке решений, если приходится сознательно идти на компромиссы, например, при формировании системы товарооборота приходится идти на компромисс между скоростью обработки заказов и затратами на поддержку запасов готовой продукции.
2. Как определить нижнюю и верхнюю цену матричной игры и какое соотношение существует между ними?
Рассмотрим игру m Ч n с матрицей и определим наилучшую среди стратегий A 1 , A 2 , …, А m . Выбирая стратегию А i игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А).Обозначим через б наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А; для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы).Назовем б нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,
Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Назовем В верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно, .
Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией. Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры б = в = н называется чистой ценой игры, или ценой игры.
3. Сформулируйте основн ую теорему теории матричных игр
Основная теорема теории Матричные игры (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой Матричные игры существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на которых достигаемые «минимаксы» равны (общее их значение есть значение игры).
Или Для матричной игры с любой матрицей А величины и равны между собой, т.е.
Более того, существует хотя бы одна ситуация в смешанных стратегиях, для которой выполняется соотношение
4.Какие существуют методы упрощения игр?
Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий.
Если i-я строка поэлементно не меньше (?) j-й строки, то говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой. Поэтому игрок A не использует j-ю стратегию, так как его выигрыш при i-й стратегии не меньше, чем при j-й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок B. Аналогично, если i-й столбец поэлементно не меньше (?) j-го столбца, то говорят, что j-й столбец доминирует над i-м столбцом. Поэтому игрок B не использует i-ю стратегию, так как его проигрыш (равный выигрышу игрока A) при j-й стратегии не больше (?), чем при i-й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок A. Стратегии, над которыми доминируют другие стратегии, надо отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется. Зато размер матрицы игры понизится. С этого и нужно начинать решение игры. Частный случай доминирования является дублирование стратегий . Если платёжная матрица игры содержит несколько одинаковых строк (столбцов), то из них оставляем только одну строку, а остальные строки (столбцы) отбрасываем. Отброшенным стратегиям припишем нулевые вероятности.Упрощение (уменьшение размерности) платёжных матриц за счёт исключения заведомо невыгодных чистых стратегий возможно в силу справедливости следующей Теоремы о доминирующих стратегиях :
Пусть I - игра, в матрице которой i -я стратегия первого игрока доминирует над i +1, а G - игра, матрица которой получена из матрицы I исключением i + 1 стратегии (строки). Тогда:
1. цена игры I равна цене игры G;
2. оптимальная смешенная стратегия Q * = (q 1 * ,q 2 * ,…,q n *) второго игрока в игре G является также его оптимальной смешанной стратегией в игре I;
3. если P * = (p 1 * ,p 2 * ,…,p i * , p* i+2 ,…, p m *) оптимальная смешенная стратегия первого игрока в игре G, то его смешенная стратегия P * = (p 1 * ,p 2 * ,…,p i * , p* i+2 ,…, p m *) является оптимальной в игре I.
Из выше сказанного следует, что как первому, так и второму нет смысла использовать доминируемую стратегию, поэтому все доминируемые стратегии могут быть отброшены, т.е. фактически отброшены строки и столбцы исходной матрицы A, соответствующие этим строкам. Это преобразование уменьшает размерность исходной платёжной матрицы A, тем самым упрощается поиск оптимального решения.
5. Геометрические методы решения игр с матрицами 2_ _n и m 2 и их применение
Решение игры в смешанных стратегиях допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Геометрический метод решения игры включает следующие этапы. 1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок А1А2, длина которого равна 1 (рис. 2.1.). Левый конец отрезка точка x = 0 соответствует стратегии A1, правый, где х = 1,0 -- стратегии А2. Все промежуточные точки этого отрезка соответствуют смешанным стратегиям S1 = (p1, p2). 2. По оси ординат от точки O откладываются выигрыши при стратегии А1. 3. На линии, параллельной оси ординат, от точки 1 откладываются выигрыши при стратегии А2 .Пусть имеется игра с платежной матрицей:
Если игрок II применяет стратегию В1, то выигрыш игрока I при использовании чистых стратегий А1 и А2 составляет соответственно a11 = 0,4 и a21 = 0,6. Соединим эти точки прямой В1В1 . Если игрок I при стратегии В1 применяет смешанную стратегию, то средний выигрыш, определяемый по формуле математического ожидания g1 = a11p1 + a21p2, изображается ординатой точки N на прямой B1B1. Прямая B1B1 называется стратегией В1. Ордината любой точки отрезка B1B1 равна величине выигрыша игрока I при применении им стратегии A1 и А2 с соответствующими вероятностями p1 и p2.Аналогично строим отрезок В2В2, соответствующий применению игроком II стратегии В2 .Ординаты точек отрезка определяют средний стратегий А1 и А2 с соответствующими вероятностями p1 и p2 и равных g2 = a12p1 + a22p2.
6. На чем основана связь матричной игры и задачи линейного программирования?
Первоначально развитие теории стратегических матричных игр осуществлялось параллельно и независимо от линейного программирования. Позже было установлено, что стратегическая матричная игра может быть сведена к паре двойственных задач линейного программирования. Решив одну из них, получаем оптимальные стратегии игрока 1; решив другую, получаем оптимальные стратегии игрока 2. Математическое соответствие между стратегическими матричными играми и линейным программированием было установлено Дж. Б. Данцигом, сформулировавшим и доказавшим в 1951 г. основную теорему теории игр.
Теорема. Каждая матричная игра с нулевой суммой всегда имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существуют такое число v и такие стратегии U* и W* игроков 1 и 2 соответственно, что выполняются неравенства:
Поясним смысл доказываемых неравенств: если игрок 1 отклоняется от своей оптимальной стратегии, то его выигрыш не увеличивается по сравнению с ценой игры; если от своей оптимальной стратегии отклоняется игрок 2, то по сравнению с ценой игры его проигрыш не уменьшается.
7. В чем состоит отличие игры с природой?
Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
8. Перечислите основные критерии решения игр с природой и каковы расчетные формулы для этих критериев.
Критерий Байеса .
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i , при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения?(a ij p j)
Критерий Лапласа .
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
Критерий Вальда .
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Критерий Севиджа .
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим - оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Критерий максимакса .
Критерий максимакса ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.
Практические задания
Задание № 1
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x 1 + 5x 2 + 6x 3 при следующих условиях-ограничений.
7x 1 + 8x 2 + 3x 3 ?81
4x 1 + x 2 + 6x 3 ?68
5x 1 + x 2 + 7x 3 ?54
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x 4 . В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x 5 . В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x 6 .
7x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 81
4x 1 + 1x 2 + 6x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 68
5x 1 + 1x 2 + 7x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 54
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x 4 , x 5 , x 6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,81,68,54)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x 3 , так как это наибольший коэффициент по модулю.
...Подобные документы
Математическая формулировка задачи линейного программирования. Применение симплекс-метода решения задач. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Применение методов линейного программирования к экстремальным задачам экономики.
курсовая работа , добавлен 05.10.2014
Нахождение области допустимых значений и оптимумов целевой функции с целью решения графическим методом задачи линейного программирования. Нахождение оптимальных значений двойственных переменных при помощи симплексного метода и теории двойственности.
контрольная работа , добавлен 09.04.2012
Решение задачи линейного программирования графическим способом. Определение экстремальной точки. Проверка плана на оптимальность. Правило прямоугольников. Анализ и корректировка результатов решения задач линейного программирования симплексным методом.
контрольная работа , добавлен 04.05.2014
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Элементы теории игр. Системы массового обслуживания. Транспортная задача. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования. Определение оптимальной стратегии по критерию Вальде.
контрольная работа , добавлен 24.08.2010
История создания средств цифровой вычислительной техники. Методы и модели линейного программирования. Экономическая постановка задачи. Выбор метода реализации задачи. Особенности выбора языка программирования. Решение задачи сетевым методом планирования.
курсовая работа , добавлен 19.02.2015
Понятие математического программирования как отрасли математики, являющейся теоретической основой решения задач о нахождении оптимальных решений. Основные этапы нахождения оптимальных решений экономических задач. Примеры задач линейного программирования.
учебное пособие , добавлен 15.06.2015
Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.
лекция , добавлен 15.06.2004
Экономико-математическая модель получения максимальной прибыли, её решение графическим методом. Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Составление двойственной задачи и её графическое решение. Решение платёжной матрицы.
контрольная работа , добавлен 11.05.2014
Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.
курсовая работа , добавлен 02.10.2014
Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
В технике оптимальный (вариант, решение, выбор и т. д.) - наилучший (вариант, решение, выбор, …) среди допустимых при наличии правила предпочтения одного другому. Такое правило называется критерием оптимальности , а мерой предпочтения будут служить показатели качества . Можно говорить об оптимальном варианте только при удовлетворении двух условий:
- наличия хотя бы одного критерия,
- наличия не менее двух сравниваемых вариантов (необходимость осуществления выбора).
Каждый выбор лучшего варианта конкретен, поскольку производится на соответствие определённым критериям. Следовательно, говоря об оптимальном варианте, всегда нужно указывать эти критерии (то есть «оптимальный по …»). И то, что может быть оптимальным при одном критерии, не обязательно будет таковым при другом. Например, сцена, «оптимальная по площади», не обязательно будет «оптимальной по акустике».
Оптимальное решение является результатом одного из видов выбора (критериального выбора). Изучением проблем, связанных с выбором оптимальных решений, занимаются теория исследования операций и теория принятия решений .
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Оптиконевромиелит
- Оптиматы (фема)
Смотреть что такое "Оптимальное решение" в других словарях:
Оптимальное решение - решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от характера задачи) критерий качества оптимизационной модели (критерий оптимальности) при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели. Но… … Экономико-математический словарь
оптимальное решение - Решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от характера задачи) критерий качества оптимизационной модели (критерий оптимальности) при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели. Но поскольку модель никогда… … Справочник технического переводчика
Оптимальное управление - Оптимальное управление это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной… … Википедия
решение - вынести новое решение действие вынести решение действие выносить решение действие выполнять решение реализация ждать решения модальность, ожидание зависит решение субъект, зависимость, причина следствие заниматься решением действие …
решение - сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? решения, чему? решению, (вижу) что? решение, чем? решением, о чём? о решении; мн. что? решения, (нет) чего? решений, чему? решениям, (вижу) что? решения, чем? решениями, о чём? о решениях 1. Решением … Толковый словарь Дмитриева
оптимальное - найти оптимальное решение существование / создание … Глагольной сочетаемости непредметных имён
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ - решение задачи оптимального управления математической теории, состоящей в синтезе оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. ). Последнее… … Математическая энциклопедия
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЕ - решение задачи оптимального управления математической теории, в к рой управляющее воздействие u=u(t).формируется в виде функции времени (тем самым предполагается, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему… … Математическая энциклопедия
Оптимальное планирование - совокупность методов и средств, позволяющих выбрать из множества возможных вариантов развития экономической системы вариант, обеспечивающий наиболее эффективное использование ресурсов. Основу оптимального планирования составляет решение задачи… … Финансовый словарь
Оптимальное управление - летательным аппаратом раздел динамики полёта, посвящённый развитию и использованию методов оптимизации для определения законов управления движением летательного аппарата и его траекторий, обеспечивающих максимум или минимум выбранного критерия… … Энциклопедия техники
Книги
- Оптимальное использование ресурсов, обеспечивающих жизненный цикл предмета , Катульский Август Александрович. Важность увеличения отношения качества предмета к его стоимости сознавалась давно и научная мысль всегда стремилась к наиболее полному и простому решению этой задачи. Однако, когда необходимо…
Задача линейного программирования (ЗЛП) − это задача нахождения наибольшего (или наименьшего) значения линейной функции на выпуклом многогранном множестве.
Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования. Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи.
Рассмотрим следующую задачу линейного программирования в канонической форме:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
Метод искусственного базиса
Как было паказано выше, для задачи, записанной в канонической форме, если среди векторов столбцов матрицы A есть m единичных и линейно независимых , можно непосредственно указать опорный план. Однако для многих задач линейного программирования, записанных в канонической форме и имеющих опорные планы, среди векторов столбцов матрицы A не всегда есть m единичных и линейно независимых. Рассмотрим такую задачу:
Пусть требуется найти максимум функции
при условиях
где первы n
элементы нули. Переменные 
называются искусственными
. Векторы столбцы
  | (28) |
образуют так называемый искусственный базис m -мерного векторного пространства.
Так как расширенная задача имеет опорный план, то ее решение можно найти симплекс методом.
Теорема 4.
Если в оптимальном плане 
расширенной задачи (24)−(26) значения искусственных переменных 
, то 
является оптимальным планом задачи (21)−(23).
Таким образом, если в найденном оптимальном плане расширенной задачи, значения искусственных переменных равны нулю, то получен оптимальный план исходной задачи. Остановимся более подробно на нахождении решения расширенной задачи.
Значение целевой функции при опорном плане (27):
Замечаем, что F(X) и состоят из двух независимых частей, одна из которых зависим от M , а другая − нет.
После вычисления F(X) и их значения, а также исходные данные расширенной задачи заносят в симплекс таблицу, как было показано выше. Разность заключается лишь в том, что данная таблица содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс таблица. При этом в (m +1)-ю строку помещают коэффициенты, не содержащие M , а в (m +2)-ю строку − коэффициенты при M .
При переходе от одного опорного плана к другому, в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу (m +2) строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса не имеет смысла вновь ввести в базис. При переходе к другому опорному плану, может случится так, что ни один из искусственных векторов из базиса не будет исключен. Пересчет симплекс таблицы при переходе от одного опорного плана к другому производят по обычным правилам симплекс метода (смотри выше).
Итерационный процесс ведут по m
+2 строке до тех пор, пока элементы m
+2 строки, соответствующие переменным 
не станут неотрицательными. При этом, если искусственные переменные исключены из базиса, то найденный план расширенной задачи отвечает некоторому опорному плану исходной задачи.
m +2 строки, столбца x 0 отрицателен, то исходная задача не имеет решения.
Если же не все искусственные переменные исключены из базиса и элемент m +2 строки, столбца x 0 равен нулю, то опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит минимум один из векторов искусственного базиса.
Если исходная задача содержит несколько единичных векторов, то их следует включить в искусственный базис.
Если в ходе итераций m +2 строка больше не содержит отрицательных элементов, то итерационный процесс продолжают с m +1 строкой, до тех пор, пока не найден оптимальный план расширенной задачи или не выявлен неразрешимость задачи.
Таким образом, процесс нахождения решения задачи линейного программирования (21)−(23) методом искусственного базиса включает следующие основные этапы:
- Составляют расширенную задачу (24)−(26).
- Находят опорный план расширенной задачи.
- Используя симплекс метод исключают искусственные векторы из базиса. В результате находят опорный план исходной задачи или фиксируют ее неразрешимость.
- Используя найденный опорный план ЗЛП (21)−(23), или находят оптимальный план исходной задачи, или устанавливают ее неразрешимость.
Для решения задач линейного программирования онлайн, пользуйтесь калькулятором
